Transformaciones Geométricas

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS.

Un paquete grafico permite al usuario especificar que parte de una imagen definida se debe visualizar y donde esta parte se debe colocar en el dispositivo de visualización.

En el caso de las imágenes bidimensionales, una vista se selecciona especificando el plano xy y contiene la imagen total o cualquier parte de ella. Cuando se seleccionan múltiples zonas de vista, estas zonas se pueden colocar en ubicaciones de visualización independientes, o algunas zonas se podrían insertar en zonas de visualización más grandes.

TRASLACION.

Se aplica una traslación en un objeto para cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una línea recta de una dirección de coordenadas a otra. Convertimos un punto bidimensional al agregar las distancias de traslación, tx y ty a la posición de coordenadas original (x, y) para mover el punto a una nueva posición (x’, y’).

X’ = x + tx’                         y’ = y + ty

La traslación es una transformación de cuerpo rígido que mueve objetos sin deformarlos, es decir, se traslada cada punto del objeto la misma distancia.

ROTACIÓN.

Se aplica a los objetos al cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una circunferencia en el plano xy, especificamos un ángulo de rotación y la posición, en torno al cual se gira el objeto.

Al igual que las traslaciones, las rotaciones son transformaciones de cuerpos rígidos que mueven los objetos sin deformarlos. Se giran a través del mismo ángulo todos los puntos del objeto.  Los polígonos se giran al desplegar cada vértice a través del ángulo de rotación especifico y se vuelve a generar el polígono utilizando los nuevos vértices.  Las líneas curvas se giran al cambiar la posición de los puntos de definición y se vuelven a trazar las curvas.

ESCALACION.

Una transformación de Escalacion altera el tamaño de un objeto. Se puede realizar esta operación para polígonos al multiplicar los valores de coordenadas (x, y) de cada vértice por los factores de Escalacion sx y sy para producir las coordenadas transformadas (x’, y’):

X’ = x.sx, y’ = y.sy

Los objetos que se transforman con las ecuaciones se escalan y cambian de posición. Los factores de Escalacion con valores menores a 1 acercan los objetos al origen de las coordenadas en tanto que los valores mayores que 1 alejan las posiciones de coordenadas del origen.

Incluir coordenadas para un punto fijo en las ecuaciones de Escalacion es similar a incluir coordenadas para un punto pivote en las ecuaciones de rotación. Se escalan polígonos al aplicar las transformaciones en cada vértice y luego volver a generar el polígono utilizando los vértices transformados.

2.2 COORDENADAS HOMOGENEAS Y REPRESENTACION MATRICIAL

En las aplicaciones de diseño y de creación de imágenes, realizamos traslaciones, rotaciones y escalaciones para ajustar los componentes de la imagen en sus posiciones apropiadas.

Las representaciones de matriz o representaciones matriciales son métodos estándar para implementar transformaciones en sistemas de graficas. En muchos sistemas, las funciones de rotación y Escalacion producen transformaciones con respecto al origen de las coordenadas.

2.3 COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES.

Traslaciones, rotaciones y escalaciones.

TRASLACIONES.

Se aplican dos vectores de traslación sucesivos en la posición de coordenadas P, la localización transformada final P, donde se representan P y P’ como vectores de columna de coordenadas homogéneas. Se puede verificar este resultado al calcular el producto de la matriz para las dos agrupaciones asociativas, es así, que demuestra que dos transformaciones sucesivas son aditivas.

ROTACIONES.

Dos rotaciones sucesivas que se aplican en el punto P producen la posición transformada. Al multiplicar las dos matrices de rotación, se verifica que dos rotaciones sucesivas son aditivas de modo que es posible calcular las coordenadas giradas finales con la matriz de rotación compuesta.

ESCALACIONES.

Concatenar matrices de transformación para dos operaciones de Escalacion sucesivas produce matriz de Escalacion compuesta. La matriz resultante indica que las operaciones de Escalacion sucesivas con multiplicativas. Es decir, si debiéramos triplicar el tamaño de un objeto dos veces en una sucesión, el tamaño final seria nueve veces al tamaño original.

ROTACIÓN DEL PUNTO PIVOTE GENERAL.

Se realiza una secuencia de operaciones la cual es:

-          Traslade el objeto de modo que mueva la posición del punto pivote al origen de las coordenadas

-          Gire el objeto con respecto del origen de las coordenadas.

-          Traslade el objeto de manera que se regrese el punto pivote a su posición original

ESCALACION DEL PUNTO FIJO GENERAL.

Se realiza una secuencia de operaciones la cual es:

1.      Traslade el objeto de modo que el punto fijo coincida con el origen de las coordenadas

2.      Escale el objeto con respecto del origen de las coordenadas

3.      Utilice la traslación inversa del paso 1 para regresar el objeto a su posición original.

PROPIEDADES DE CONCATENACIÓN.

La multiplicación de matrices es asociativa. Para tres matrices cualesquiera A, B y C, el producto matricial ABC se puede llevar a cabo al multiplicar primero a por B o multiplicar primero B por C

Por tanto podemos evaluar los productos matriciales al utilizar una agrupación asociativa ya sea de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

2.4 TRANSFORMACION VENTANA-AREA DE VISTA

El programador de la aplicación especifica una región rectangular en coordenadas de mundo (programa de aplicación representa un mundo que se crea o presenta interactivamente para el usuario), llamada ventana de coordenadas mundiales y una región rectangular correspondiente en coordenadas de pantalla, llamada área de vista, con la cual se establece la correspondencia de la ventana de coordenadas mundiales. La transformación que establece entre la ventana y el área se aplica a todas las primitivas de salida en coordenadas de mundo para que correspondan a coordenadas de pantalla.

2.5 TRANSFORMACIONES DE COMPOSICION GENERAL Y DE EFICIENCIA COMPUTACIONAL.

Una transformación bidimensional general representa una combinación de traslaciones, rotaciones y escalaciones.

Una implementación eficiente de las operaciones de transformación consiste en formular matrices de transformación, concatenar cualquier secuencia de transformación y calcular coordenadas transformadas al utilizar ecuaciones.

2.6 REPRESENTACION MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES TRIDIMENSIONALES.

Así como las transformaciones bidimensionales se pueden presentar con matrices de 3 x 3 usando coordenadas homogéneas, las transformaciones tridimensionales se pueden representar con matrices de 4 x 4, siempre y cuando usemos representaciones de coordenadas homogéneas de los puntos en el espacio tridimensional.

La transformación de un punto a esta forma se denomina homogeneización, igual que antes. Además los puntos cuya coordenada W es cero se llaman puntos en el infinito. También existe una interpretación geométrica. Cada punto en el espacio tridimensional se representa con una línea que pasa por el origen en el espacio de cuatro dimensiones y las representaciones homogeneizadas de estos puntos forman un subespacio tridimensional de un espacio de cuatro dimensiones definido por la ecuación W = 1.

2.7 COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES TRIDIMENSIONALES

                                                                               

Se presentan dos formas de lograr la transformación deseada. El primer método es componer las transformaciones primitivas, T, Rx, Ry y Rz. Este método aunque es algo tedioso, es fácil de ilustrar y su comprensión nos ayudara en nuestro conocimiento de las transformaciones. El segundo método, que utiliza las propiedades de las matrices ortogonales especiales es más abstracto.

Transformaciones primitivas.

1.      Traslación de P1 al origen

2.      Rotación sobre el eje y para que P1P2 este en el plano (y, z)

3.      Rotación sobre el eje x para que P1P2 este en el eje z.

4.      Rotación sobre el eje z para que P1P3 esté en el plano (y, z).