Transformaciones Geometricas,Traslación, Rotación y Escalación.

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN DOS DIMENSIONES. 

Un paquete grafico permite al usuario especificar que parte de una imagen definida se debe visualizar y donde esta parte se debe colocar en el dispositivo de visualización. 

En el caso de las imágenes bidimensionales, una vista se selecciona especificando el plano xy y contiene la imagen total o cualquier parte de ella. Cuando se seleccionan múltiples zonas de vista, estas zonas se pueden colocar en ubicaciones de visualización independientes, o algunas zonas se podrían insertar en zonas de visualización más grandes.

TRASLACION.

Se aplica una traslación en un objeto para cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una línea recta de una dirección de coordenadas a otra. Convertimos un punto bidimensional al agregar las distancias de traslación, t_x y t_y a la posición de coordenadas original (x, y) para mover el punto a una nueva posición (x’, y’).

X’ = x + t_x’                         y’ = y + t_y

La traslación es una transformación de cuerpo rígido que mueve objetos sin deformarlos, es decir, se traslada cada punto del objeto la misma distancia. 

ROTACIÓN. 

Se aplica a los objetos al cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una circunferencia en el plano xy, especificamos un ángulo de rotación y la posición, en torno al cual se gira el objeto. 

Al igual que las traslaciones, las rotaciones son transformaciones de cuerpos rígidos que mueven los objetos sin deformarlos. Se giran a través del mismo ángulo todos los puntos del objeto.  Los polígonos se giran al desplegar cada vértice a través del ángulo de rotación especifico y se vuelve a generar el polígono utilizando los nuevos vértices.  Las líneas curvas se giran al cambiar la posición de los puntos de definición y se vuelven a trazar las curvas. 

ESCALACION. 

Una transformación de Escalacion altera el tamaño de un objeto. Se puede realizar esta operación para polígonos al multiplicar los valores de coordenadas (x, y) de cada vértice por los factores de Escalacion s_x y s_y para producir las coordenadas transformadas (x’, y’):

X’ = x.s_x, y’ = y.s_y

Los objetos que se transforman con las ecuaciones se escalan y cambian de posición. Los factores de Escalacion con valores menores a 1 acercan los objetos al origen de las coordenadas en tanto que los valores mayores que 1 alejan las posiciones de coordenadas del origen. 

Incluir coordenadas para un punto fijo en las ecuaciones de Escalacion es similar a incluir coordenadas para un punto pivote en las ecuaciones de rotación. Se escalan polígonos al aplicar las transformaciones en cada vértice y luego volver a generar el polígono utilizando los vértices transformados.

APLICACIÓN

TRASLACIÓN.

Se aplican dos vectores de traslación sucesivos en la posición de coordenadas P, la localización transformada final P, donde se representan P y P’ como vectores de columna de coordenadas homogéneas. Se puede verificar este resultado al calcular el producto de la matriz para las dos agrupaciones asociativas, es así, que demuestra que dos transformaciones sucesivas son aditivas.

ROTACIÓN.

Dos rotaciones sucesivas que se aplican en el punto P producen la posición transformada. Al multiplicar las dos matrices de rotación, se verifica que dos rotaciones sucesivas son aditivas de modo que es posible calcular las coordenadas giradas finales con la matriz de rotación compuesta.

ESCALACION.

Concatenar matrices de transformación para dos operaciones de Escalacion sucesivas produce matriz de Escalacion compuesta. La matriz resultante indica que las operaciones de Escalacion sucesivas con multiplicativas. Es decir, si debiéramos triplicar el tamaño de un objeto dos veces en una sucesión, el tamaño final seria nueve veces al tamaño original.